Índice de un subgrupo
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Grupo topológico
En matemáticas, un grupo de cobertura de un grupo topológico H es un espacio de cobertura G de H tal que G es un grupo topológico y el mapa de cobertura p : G → H es un homomorfismo de grupo continuo. El mapa p se llama homomorfismo de cobertura. Un caso frecuente es el de un grupo de doble cobertura, una doble cobertura topológica en la que H tiene índice 2 en G; los ejemplos incluyen los grupos de espín, los grupos de espigas y los grupos metaplécticos.
Explicado a grandes rasgos, decir que, por ejemplo, el grupo metapléctico Mp2n es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp2n significa que siempre hay dos elementos en el grupo metapléctico que representan un elemento en el grupo simpléctico.
Sea G un grupo de cobertura de H. El núcleo K del homomorfismo de cobertura es sólo la fibra sobre la identidad en H y es un subgrupo normal discreto de G. El núcleo K es cerrado en G si y sólo si G es Hausdorff (y si y sólo si H es Hausdorff). Yendo en la otra dirección, si G es cualquier grupo topológico y K es un subgrupo normal discreto de G entonces el mapa cociente p : G → G/K es un homomorfismo de cobertura.
Homomorfismo de grupo
En topología, las nociones de grupo fundamental y de cobertura universal están estrechamente relacionadas. Al importar las nociones habituales de la topología al entorno algebraico y aritmético, construimos una familia de grupos fundamentales a partir de una cobertura universal, siendo ambos esquemas. Una fibra geométrica de la familia de grupos fundamentales (como grupo topológico) es canónicamente el grupo fundamental étale. Las construcciones se aplican a todos los esquemas cuasi-compactos conectados. Con diferentes métodos e hipótesis, esta familia de grupos fundamentales ya fue construida por Deligne.
abstract = {En topología, las nociones de grupo fundamental y de cobertura universal están estrechamente ligadas. Importando nociones habituales de la topología al entorno algebraico y aritmético, construimos una familia de grupos fundamentales a partir de una cubierta universal, siendo ambos esquemas. Una fibra geométrica de la familia de grupos fundamentales (como grupo topológico) es canónicamente el grupo fundamental étale. Las construcciones se aplican a todos los esquemas cuasi-compactos conectados. Con métodos e hipótesis diferentes, esta familia de grupos fundamentales ya fue construida por Deligne.}
Grupo de Lorentz
Demostremos que la cubierta universal de SO(3) es una cubierta doble (por lo tanto, el grupo de homotopía de SO(3) es \(\mathbb{Z}_2\)). Esto explica, entre otras cosas, el famoso truco del cinturón de Dirac y el concepto de partículas de media espina.
Así que SO(3) es casi lo mismo que el siguiente espacio: Consideramos una dirección en el espacio 3D (un valor en la 2-esfera), y un ángulo estrictamente entre 0 y 360 grados por el que girar alrededor de este eje (“en el sentido de las agujas del reloj mirando hacia abajo” desde esta dirección, digamos). También podríamos especificar un ángulo de 0 o 360 grados, y en este caso, no necesitamos especificar una dirección. La rotación por un ángulo de 0 grados es el límite de cualquier secuencia de rotaciones cuyos ángulos tienden a 0 grados, independientemente de si las direcciones convergen a cualquier dirección, y de forma similar para la rotación por 360 grados.
Finalmente… Observamos que la rotación por el ángulo X alrededor de la dirección D es lo mismo que la rotación por el ángulo 360 grados – X alrededor de la dirección -D. Cada rotación tiene dos representaciones antípodas de la forma anterior.