Mapa de cobertura
En matemáticas, un grupo de recubrimiento de un grupo topológico H es un espacio de recubrimiento G de H tal que G es un grupo topológico y el mapa de recubrimiento p : G → H es un homomorfismo de grupo continuo. El mapa p se denomina homomorfismo de recubrimiento. Un caso frecuente es un grupo de doble cobertura, una doble cobertura topológica en la que H tiene índice 2 en G; algunos ejemplos son los grupos de espín, los grupos pin y los grupos metaplécticos.
Explicado en términos generales, decir que, por ejemplo, el grupo metapléctico Mp2n es un doble recubrimiento del grupo simpléctico Sp2n significa que siempre hay dos elementos en el grupo metapléctico que representan un elemento en el grupo simpléctico.
Sea G un grupo de cobertura de H. El núcleo K del homomorfismo de cobertura es simplemente la fibra sobre la identidad en H y es un subgrupo discreto normal de G. El núcleo K es cerrado en G si y sólo si G es Hausdorff (y si y sólo si H es Hausdorff). Yendo en la otra dirección, si G es cualquier grupo topológico y K es un subgrupo discreto normal de G entonces el mapa cociente p : G → G/K es un homomorfismo de cobertura.
Cubierta universal de rp2
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Topología de doble cobertura
En cierto sentido, esto demuestra que el logaritmo tiene la peor monodromía posible, dado que sólo tiene una singularidad en el plano complejo. De ahí que podamos visualizar fácilmente el mapa de cobertura como dado por la superficie de Riemann correspondiente al logaritmo (dada por continuación analítica, digamos).
Mi pregunta principal es la siguiente: ¿cómo puedo encontrar una función cuya monodromía corresponda a la cobertura universal del plano complejo dos veces puntuado (digamos ℂ∖{0,1}), del mismo modo que la monodromía de log corresponde a la cobertura universal del plano puntuado?
El único problema es que esto no muestra cómo hacerlo explícitamente: Empecé con una representación fiel del grupo fundamental (del plano complejo dos veces puntuado) en GL(2,ℂ) (de hecho las matrices correspondientes en SL(2,ℤ) son fáciles de producir), pero los cálculos se me fueron rápidamente de las manos.
Puntos extra para cualquier cosa que también funcione para más puntos eliminados, pero viendo lo complicado que parece esto para sólo dos puntos eliminados, no tengo muchas esperanzas (sabiendo que a partir de 3 puntos singulares (+∞), aparecen muchos fenómenos complicados).
Cubierta universal del toroide
En matemáticas, un grupo de recubrimiento de un grupo topológico H es un espacio de recubrimiento G de H tal que G es un grupo topológico y el mapa de recubrimiento p : G → H es un homomorfismo de grupo continuo. El mapa p se denomina homomorfismo de recubrimiento. Un caso frecuente es un grupo de doble cobertura, una doble cobertura topológica en la que H tiene índice 2 en G; algunos ejemplos son los grupos de espín, los grupos pin y los grupos metaplécticos.
Explicado en términos generales, decir que, por ejemplo, el grupo metapléctico Mp2n es un doble recubrimiento del grupo simpléctico Sp2n significa que siempre hay dos elementos en el grupo metapléctico que representan un elemento en el grupo simpléctico.
Sea G un grupo de cobertura de H. El núcleo K del homomorfismo de cobertura es simplemente la fibra sobre la identidad en H y es un subgrupo discreto normal de G. El núcleo K es cerrado en G si y sólo si G es Hausdorff (y si y sólo si H es Hausdorff). Yendo en la otra dirección, si G es cualquier grupo topológico y K es un subgrupo discreto normal de G entonces el mapa cociente p : G → G/K es un homomorfismo de cobertura.